约束刚体的基本运动学

4.1 刚体的自由度

 

4.1.1 平面中刚体的自由度

刚体的自由度 （DOF） 已定义 作为它所拥有的独立运动的数量。图 4-1 显示平面中的刚体。确定此主体的自由度 我们必须考虑可以移动条形图的几种不同方式。在 一个二维平面，比如这个电脑屏幕，有3个自由度。 条形可以沿 x 轴平移，平移 沿 y 轴，并绕其质心旋转。

 

图4-1 平面中刚体的自由度 

4.1.2 空间中刚体的自由度

空间中不受约束的刚体有六个自由度： 沿 x、y 和 z 轴的三个平移运动和分别围绕 x、y 和 z 轴的三个旋转运动。

 

图4-2 空间中刚体的自由度 

4.2 运动约束

空间中的两个或多个刚体统称为刚体 身体系统。我们可以阻碍这些独立刚体的运动 具有运动约束的物体。运动 约束是刚体之间的约束，导致 刚体系统自由度的降低。

术语运动学对实际上是指刚体之间的运动学约束。运动学副 分为低对和高对，视两者如何 身体是接触的。

4.2.1 平面机构中的下对

平面机构中有两种下对：旋转对和棱柱对。

平面中的刚体只有三个独立的运动——两个 平移和一个旋转 — 所以引入一个旋转对 或两个刚体之间的棱柱对去除了两个度数 自由。

图4-3 平面旋转副（R对） 

图4-4 平面棱柱对（P对） 

4.2.2 空间机制中的低对

在空间机制类别下有六种低对。类型有：球面副、平面副、圆柱副、旋转 对、棱柱对和螺钉对。

 

图4-5 球面对（S对）球形对将两个球形中心保持在一起。二 通过此约束连接的刚体将能够围绕 x、y 和 z 轴相对旋转， 但其中任何一个都不会有相对的翻译 轴。因此，球面对去除了 空间机制。自由度 = 3。

 

图4-6 平面对（E对）平面对将两个刚体的曲面保持在一起。 为了形象化这一点，想象一本书躺在桌子上，它可以移动 在除桌子外的任何方向。两个刚体连接 这种对将有两个独立的平移运动 平面，以及围绕垂直轴的旋转运动 到飞机上。因此，平面对删除了三个度数 空间机制的自由度。在我们的示例中，这本书不会是 能够从桌子上抬起或旋转到桌子上。景深 = 3.

 

图4-7 圆柱对（C对）圆柱对保持两个刚体的两个轴 一致。作为这种系统一部分的两个刚体将 具有沿轴的独立平移运动和相对 绕轴旋转运动。因此，圆柱形副将 空间机制的四个自由度。景深 = 2。

 

图4-8 旋转对（R对）旋转对保持两个刚体的轴 一起。由一对旋转对约束的两个刚体具有 围绕其公共轴的独立旋转运动。因此， Revolute 对删除了空间中的五个自由度 机制。景深 = 1。

 

图4-9 棱柱对（P对）棱柱对使两个刚体的两个轴对齐并 不允许相对旋转。两个刚体受这种约束 的约束将能够具有独立的平移运动 沿轴线。因此，棱柱对去除了 1 度 空间机制的自由度。景深 = <>。

 

图4-10 螺丝对（H对）螺钉对使两个刚体的两个轴保持对齐和 允许相对的螺钉运动。两个刚体受 螺杆对 一种运动，它是平移运动的组合 沿轴线和相应的绕轴旋转运动。 因此，螺钉对在空间上消除了五个自由度 机制。

 

4.3 约束刚体

刚体和运动约束是 机制。受约束的刚体系统可以是运动链、机构、结构，也可以是这些都不是。 运动约束对刚体运动的影响 有两个内在的方面，即几何和物理 方面。换句话说，我们可以分析受约束的运动 刚体的几何关系或使用牛顿第二定律。

机构是一种受约束的刚体系统，其中 身体是框架。的度数 在考虑受约束的刚体系统时，自由度很重要 这是一种机制。当系统是 结构或当它没有确定的运动时。

计算刚体系统的自由度是直线的 向前。任何不受约束的刚体都有六个自由度 平面中的空间和三个自由度。添加运动学 刚体之间的约束将相应地减小 刚体系统的自由度。我们将讨论更多 下一节将介绍平面机制。

 

4.4 平面机构的自由度

 

4.4.1 格鲁布勒方程

机制自由度的定义 是刚体之间独立相对运动的次数。 例如，图 4-11 显示了 刚体受不同种类的对约束。

 

图4-11 受不同种类平面对约束的刚体在图 4-11a 中，刚体由一个只允许旋转的旋转副约束 绕轴运动。它有一个自由度，转身 A点。失去的两个自由度是平移运动 沿 x 轴和 y 轴。刚体可以的唯一方式 移动是绕定点 A 旋转。

在图 4-11b 中，刚体受棱柱对约束，该棱柱对仅允许 平移运动。在二维中，它有一个度 自由，沿 x 轴平移。在此示例中， 身体失去了绕任何轴旋转的能力，并且无法移动 沿 y 轴。

在图 4-11c 中，刚体受到更高对的约束。它有两个度 自由度：沿曲面平移并绕 瞬时接触点。

一般来说，平面中的刚体有三个自由度。 运动学对是对刚体的约束，可降低 机制的自由度。图4-11所示为三种 平面机构中的对。这些对减少了度数 的自由。如果我们创建一个较低的对（图 4-11a，b），自由度将减少到 2。同样地 如果我们创建一个更高的对（图 4-11c），自由度降低到1。

 

图 4-12 平面机构中的运动学对因此，我们可以写出以下等式：

(4-1)

哪里

F = 机构中的总自由度

n = 链接数（包括 框架)

l = 下对数（一个自由度）

h = 高对数（两个自由度）

这个方程也被称为格鲁布勒方程。

示例 1

请看图4-13a中门上方的横梁。开幕式和 关闭机构如图4-13b所示。让我们计算一下它的 自由度。

 

图4-13 横梁机构

n = 4（链接 1、3、3 和帧 4），l = 4（在 A、B、C、D 处），h = 0

(4-2)

注意：D 和 E 作为同一棱柱对起作用，因此它们仅 算作一对较低的对。

 

示例 2

计算图4-14b所示机构的自由度。 图4-14a是该机制的应用。

 

图4-14 自卸车

n = 4， l = 4 （在 A， B， C， D）， h = 0

(4-3)

 

示例 3

计算图4-15所示机构的自由度。

 

图4-15 自由度计算

对于图4-15a中的机制

n = 6， l = 7， h = 0

(4-4)

对于图4-15b中的机制

n = 4， l = 3， h = 2

(4-5)

注意：滚筒的旋转不影响 机构的输入和输出运动的关系。因此 不考虑滚筒的自由度;它被称为被动或冗余自由度。 想象一下，在计算度数时，滚子被焊接到连杆 2 上 机制的自由度。

 

4.4.2 库茨巴赫准则

机构的自由度数 也称为设备的移动性。迁移率是输入参数的数量（通常为对 变量），必须独立控制才能带来设备 到特定位置。库茨巴赫准则， 类似于 Gruebler 方程， 计算流动性。

为了控制一个机构，独立输入的数量 运动必须等于机械装置的自由度数。 例如，图 4-13a 中的横梁具有单一的自由度，因此它需要一个独立的输入 打开或关闭窗口的动作。也就是说，您只需推或拉杆 3 操作窗口。

再看一个例子，图中的机制 4-15A 也有 1 个自由度。如果独立输入是 应用于连杆 1（例如，电机安装在接头 A 上以驱动 链接 1），该机构将具有规定的运动。

 

4.5 有限变换

有限变换用于描述点的运动 刚体和刚体本身的运动。

4.5.1 有限平面旋转变换

 

图4-16 平面刚体上旋转角度的点假设刚体上的点 P 经过旋转 描述从 P₁ 到 P₂ 围绕坐标系原点的圆形路径。我们可以 用旋转算子 R₁₂ 描述这个运动：

(4-6)

哪里

(4-7) 

4.5.2 有限平面平移 转型

 

图4-17 平面刚体上通过一定距离平移的点假设刚体上的点 P 穿过 描述从 P₁ 到 P₂ 的直线路径的翻译，坐标变化为 （x， y）。我们可以这样描述 使用平移运算符 T₁₂ 的运动：

(4-8)

哪里

(4-9)

 

4.5.3 有限平面位移的串联

 

图4-18 空间中有限平面位移的串联假设刚体上的点 P 经过旋转 描述围绕坐标系原点从 P₁ 到 P₂‘ 的圆形路径，然后 描述从 P₂‘ 到 P₂ 的直线路径的翻译。我们可以用以下方式表示这两个步骤

 

(4-10)

和

(4-11)

我们可以将这些动作连接起来，得到

(4-12)

其中 D₁₂ 是平面一般位移算子：

(4-13)

 

4.5.4 平面刚体变换

我们已经讨论了各种转换来描述 刚体上点的位移。这些运算符可以 应用于点系统的位移，例如刚性 身体？

我们使用 3 x 1 齐次列矩阵来描述向量 表示单个点。平面 3 x 3 的有益特性 平移、旋转和一般位移矩阵算子 是它们可以很容易地在计算机上编程以操纵 3 x n 个列向量的矩阵，表示刚体的 n 个点。 由于刚体的每个粒子彼此之间的距离 刚体的点是常数，向量定位每个点 的刚体必须经历相同的变换，当刚体 主体移动并指定正确的轴、角度和/或平移 来表示其运动。（桑多尔 &Erdman 84）。例如，一般平面变换 对于刚体上的三个点 A、B、C 可以表示 由

(4-14)

 

4.5.5 空间旋转变换

我们可以描述一个用于旋转的空间旋转算子 围绕单位轴 u 的点的变换 坐标系的原点。假设点的旋转角度 关于你是 ， 旋转运算符将由下式表示

(4-15)

哪里

u_x、u_y、u_z 是耳形 单位轴 U 分别在 X、Y 和 Z 轴上的投影。

s = 罪

c = 因为

v = 1 – 余弦

4.5.6 空间平移变换

假设刚体上的点 P 穿过 翻译描述从 P₁ 到 P₂ 的直线路径，坐标变化为 （x， y， z），我们可以描述这一点 使用平移运算符 T 的运动：

(4-16)

 

4.5.7 轴的空间平移和旋转矩阵 通过原点，

假设刚体上的点 P 以角度旋转 关于单位轴 u 的位移 穿过 的原点 首先是坐标系，然后是沿 u 的平移 Du。这种旋转的组成 转换，这种转换是螺丝钉 运动。其对应的矩阵算子，螺杆 运算符，是等式 4-7 中的平移运算符和等式 4-9 中的旋转运算符的串联。

(4-17)

 

4.6 刚体之间的变换矩阵

4.6.1 两个 Arbitray 之间的变换矩阵 刚体

对于刚体系统，我们可以建立局部笛卡尔 每个刚体的坐标系。变换矩阵是 用于描述刚体之间的相对运动。

例如，空间中的两个刚体各具有局部坐标 系统 x 1 y 1z₁和 x 2 y 2z₂.设点 P 为 附着在位置的主体 2 （x 2， y₂， z 2） 在主体₂ 的局部坐标系中。要查找 P相对于物体1局部坐标系的位置， 我们知道，点 x 2 y 2z₂ 可以从x 1 y 1 z₁获得，如下式 沿 x 轴组合平移 L_x1 和 旋转 Z 关于 Z 轴。我们可以推导如下变换矩阵：

(4-18)

如果刚体 1 固定为框架，则 可以在此主体上创建全局坐标系。因此， 上面的变换可用于映射 指向全局坐标。

4.6.2 两个刚性之间的运动约束 机构

上面的变换矩阵是两个的具体示例 不受约束的刚体。转换矩阵取决于 两个刚体的相对位置。如果我们连接两个刚性 具有运动约束的物体，其 自由度将降低。换句话说，他们的亲戚 运动将在某种程度上被指定。

假设我们用一对旋转对约束上面的两个刚体，如图 4-19 所示。我们可以 仍然以与等式 4-18 相同的形式编写变换矩阵。

 

图4-19 约束体上点的相对位置

区别在于 L_x1 是一个常数 现在，因为 Revolute 对固定了坐标系的原点 x 2 y 2z₂相对于坐标系 x 1 y 1z₁.但是，旋转 z 仍然是一个变量。因此，运动学约束指定 在某种程度上是变换矩阵。

 

4.6.3 Denavit-Hartenberg表示法

Denavit-Hartenberg 符号 （Denavit & Hartenberg 55） 是 广泛用于联动坐标系和机器人机构的变换。它可以是 用于表示链接之间的转换矩阵，如 图 4-20。

图 4-20 Denavit-Hartenberg 表示法 

在此图中，

• z_i-1 和 z_i 是两个旋转对的轴;
•  i 是轴 x_i-1 和 x_i 的夹角;
• d_i 是坐标系原点之间的距离 x i-1 y i-1 z_i-1和脚的共同点 垂直;
• a_i 是公共垂直线两英尺之间的距离;
•  i 是轴 z_i-1 和 z_i 的夹角;

变换矩阵为 T_（i-1）i

(4-19)

上述变换矩阵可以表示为 T（a i， i，  i， _d i） 为方便起见。

 

4.6.4 变换矩阵在链接中的应用

连杆由几个受约束的刚体组成。就像一个 机制，一个连杆应该有一个框架。矩阵方法可以是 用于推导连杆的运动学方程。如果所有 链接形成一个闭环，所有 变换矩阵将是一个单位矩阵。如果机制 有 N 个链接，我们将有：

T₁₂T₂₃…T_（n-1）n = I